x^5+ax^2+x+1=0在(-1,1)至少有一实根，求a取值范围？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 00:12:51
【题目】
已知x^5+ax^2+x+1=0在(-1,1)内至少有一个实根，求a的取值范围。
【解析】
令f(x)=x^5+ax^2+x+1则f(x)在(-1,1)上连续。
f(-1)=a-1 , f(1)=a+3
已知方程x^5+ax^2+x+1=0在(-1,1)内至少有一个实根。
所以由f(x)的结构：函数为奇次多项式以及零点定理知：
f(-1)f(1)<0即(a-1)(a+3)<0解得-3<x<1.

请问为什么由函数为奇次多项式可以得到f(-1)f(1)<0，说明下过程是怎样的？

解答“为什么由函数为奇次多项式可以得到f(-1)f(1)<0”：
在区间(-1,1)内求所给函数的三阶导数得，f''’（x）=60x^2，在（-1，1）内递增，故一阶导数f'(x)在（-1，1）内大于零，所以f(x)=x^5+ax^2+x+1在（-1，1）内是增函数
显然所给函数是连续的，根据连续函数的介值定理，以及函数是增函数，故函数取区间端点值的乘积必小于零，即f(-1)=a-1 和 f(1)=a+3异号，解得：
-3<a<1

...烟花了= =